Cho đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB. Lấy điểm C và D trên d và nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB. Đường thẳng AC cắt đường thẳng BD tại E. Đường thẳng BC cắt đường thẳng AD tại F. Chứng minh AB // EF

Vì C∈d; D∈d mà d là đường trung trực của đoạn AB

→CB=CA và DB=DA

Xét ΔCAD và ΔCBD có

CA=CB(cmt)

AD=BD(cmt)

CD cạnh chung

→ΔCAD=ΔCBD(c-c-c)

→∠CAD=∠CBD và ∠BDC=∠ADC( 2 góc tương ứng) 

VÌ ∠CAD+∠CAF=180 độ(  2 góc kề bù)

                                                                        mà ∠CAD=∠CBD(cmt)

  ∠CBD+∠CBE=180 độ ( 2 góc kề bù)

→∠CAF=∠CBE

Xét ΔFCA và ΔECB có

∠FCA=∠ECB( 2 góc đối đỉnh)

CA=CB(cmt)

∠CAF=∠CBE( cmt)

→ΔFCA=ΔECB(g-c-g)

→BE=AF(2 cạnh tương ứng) 

Vì BE+BD=DE và AF+AD=DF mà BE=AFvà AD=BD

→DE=DF

Gọi M là giao của EF và đgt d

Xét ΔFDM và  ΔEDM có

FD=ED(cmt)

∠FDM=∠EDM

DM cạnh chung

→ΔFDM=ΔEDM(c-g-c)

→∠DMF=∠DME  mà ∠DMF+∠DME=180 độ(2 góc kề bù) 

→∠DMF=∠DME=90 độ

→EF⊥DM mà đgt d đi qua M

→đgt d⊥EF mà đgt d ⊥AB( đgt d là đg trung trực của AB)

→EF//AB(đpcm)

Vậy _________________