Cho điểm `M` bất kì nằm trong tam giác đều `ABC`. Vẽ `MD ⊥ AB, ME ⊥ BC, MF ⊥ AC`. Tìm vị trí điểm `M` sao cho `AD^2 + BE^2 + CF^2` đạt giá trị nhỏ nhất?

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $ : AB = BC = CA = a$

$ Q = AD^{2} + BE^{2} + CF^{2}$

$ = (AM^{2} - MD^{2}) + (BM^{2} - ME^{2}) + (CM^{2} - MF^{2})$

$ = (AM^{2} - MF^{2}) + (BM^{2} - MD^{2}) + (CM^{2} - ME^{2})$

$ = AF^{2} + BD^{2} + CE^{2}$

Áp dụng BĐT $ x^{2} + y^{2} >= \dfrac{1}{2}(x + y)^{2}$ có:

$ 2Q =  (AD^{2} + BD^{2}) + (BE^{2} + CE^{2}) + (CF^{2} + AF^{2})$

$ >= \dfrac{1}{2}(AD + BD)^{2} + \dfrac{1}{2}(BE + CE)^{2} + \dfrac{1}{2}(CF + AF)^{2}$

$ = \dfrac{1}{2}(AB^{2} + BC^{2} + CA^{2}) = \dfrac{3a^{2}}{2}$

$ => Q >= \dfrac{3a^{2}}{4}$

Vậy $ GTNN$ của $ Q = \dfrac{3a^{2}}{4} $

$ <=> AD = BD; BE = CE; CF = AF $

$ <=> M$ là trọng tâm tam giác $ABC$