Cho điểm A có hoành độ bằng $-1$ nằm trên đồ thị (C) của hàm số $ y=$ $2$$x^{3}$ $-$$3$$x^{2}$ $+m$ (m là tham số). Biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là B. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để tam giác OAB vuông tại O với O là gốc tọa độ ?

Đáp án: $m=\dfrac{-54\pm \:5\sqrt{78}}{2}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $y=2x^3-3x^2+m\to y'=6x^2-6x$

Ta có $A\in (C), x_a=-1$

$\to A(-1, 2\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)^2+m)\to A(-1,m-5)$

Tiếp tuyến của $(C)$ tại $A(-1,m-5)$ là:

$(d):y=(6\cdot (-1)^2-6\cdot (-1))(x-(-1))+(m-5)$

$\to(d): y=12x+m+7$

$\to$Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(C)$ là:

$2x^3-3x^2+m=12x+m+7$

$\to 2x^3-3x^2-12x-7=0$

$\to (x+1)^2(2x-7)=0$

$\to x\in\{-1,\dfrac72\}$

Vì $B$ là giao của $2$ đồ thị

$\to x_b=\dfrac72$

$\to y_b=12\cdot\dfrac72+m+7=m+49$

$\to B(\dfrac72,m+49)$

Ta có $A(-1,m+5)$

$\to\vec{OA}=(-1,m+5), \vec{OB}=(\dfrac72,m+49)$

Để $\Delta OAB$ vuông tại $O$

$\to \vec{OA}.\vec{OB}=0$

$\to -1\cdot\dfrac72+(m+5)(m+49)=0$

$\to m^2+54m+\dfrac{483}{2}=0$

$\to m=\dfrac{-54\pm \:5\sqrt{78}}{2}$