Cho ΔABC, có AB = AC; M là trung điểm của BC. a) Chứng minh ΔABM = ΔACM, từ đó suy ra AM là tia phân giác góc BAC. b) Từ M vẽ MD ⊥ AB ( D ∈ AB ), trên đoạn AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh: ΔADM = ΔAEM, từ đó suy ra ME ⊥ AC c) ME kéo dài cắt AB tại N; MD kéo dài cắt AC tại F. Gọi K là trung điểm của NF. Chứng minh A, M, K thằng hàng

Đáp án:

a)

$\triangle ABM=\triangle ACM$

AM là phân giác của $\widehat{BAC}$

b) $\triangle ADM=\triangle AEM, ME\bot AC$

c) A, M, K thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$:

$AB=AC$ (gt)

$AM$: chung

$MB=MC$ (gt)

$\to\triangle ABM=\triangle ACM$ (c.c.c)

$\to\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (2 góc tương ứng)

$\to$ AM là phân giác của $\widehat{BAC}$

b)

Xét $\triangle ADM$ và $\triangle AEM$:

$AD=AE$ (gt)

$\widehat{MAD}=\widehat{MAE}\,\,\,(\widehat{MAB}=\widehat{MAC})$

$MA$: chung

$\to\triangle ADM=\triangle AEM$ (c.g.c)

$\to MD=ME$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\widehat{ADM}=\widehat{AEM}$ (2 góc tương ứng)

Mà $MD\bot AB$ (gt)

$\to\widehat{ADM}=90^o\to \widehat{AEM}=90^o\\\to ME\bot AC$

c)

Xét $\triangle MDN$ và $\triangle MEF$:

$\widehat{MDN}=\widehat{MEF}\,\,\,(=90^o)$

$MD=ME$ (cmt)

$\widehat{DMN}=\widehat{EMF}$ (đối đỉnh)

$\to\triangle MDN=\triangle MEF$ (g.c.g)

$\to DN=EF$ (2 cạnh tương ứng)

Ta có: $AD=AE$ (gt)

$\to AD+DN=AE+EF\\\to AN=AF$

$\to\triangle ANF$ cân tại A

Lại có: AK là đường trung tuyến (gt)

$\to$ AK đồng thời là phân giác của $\widehat{NAF}$

Mà AM là phân giác của $\widehat{BAC}$ (cmt)

Hay AM là phân giác của $\widehat{NAF}\,\,\,(B\in AN, C\in AF)$

$\to$ A, M, K thẳng hàng