Cho ΔABC ⊥ A có AB = 30cm, đường cao AH = 24cm a. Tính BH, BC, AC b. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt tia AH tại D. Tính BD c. Gọi F, E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB, AC. Chứng minh rằng: AF.AB = AE.AC

`a)` `AB=30cm; AH=24cm`

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$

`=>AH^2+BH^2=AB^2` (định lý Pytago)

`=>BH^2=AB^2-AH^2=30^2-24^2= 324`

`=>BH=\sqrt{324}=18cm`

$\\$

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$

`=>AB^2=BH.BC` (hệ thức lượng)

`=>BC={AB^2}/{BH}={30^2}/{18}=50cm`

$\\$

`\qquad AB^2+AC^2=BC^2` (định lý Pytago)

`=>AC^2=BC^2-AB^2=50^2-30^2=1600`

`=>AC=\sqrt{1600}=40cm`

$\\$

Vậy `BH=18cm; BC=50cm;AC=40cm`

$\\$

`b)` Xét $∆ABD$ vuông tại $B$ có $BH\perp AD$

`=>1/{BH^2}=1/{BD^2}+1/{AB^2}` (hệ thức lượng)

`=>1/{BD^2}=1/{BH^2}-1/{AB^2}`

`=1/{18^2}-1/{30^2}=4/{2025}`

`=>BD^2={2025}/4`

`=>BD=\sqrt{{2025}/4}={45}/2=22,5cm`

Vậy `BD=22,5cm`

$\\$

`c)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HF\perp AB$

`=>AH^2=A F.AB` $(1)$

$\\$

Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AC$

`=>AH^2=AE .AC` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>A F.AB=AE.AC` (đpcm)