cho các số `x,y >0` thỏa mãn `x+4/y ≤1` tìm Max `P=((x+2y)(y+2x))/(x^2+y^2)`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có $: 16.\dfrac{x}{y} = 4.x.\dfrac{4}{y} =< (x + \dfrac{4}{y})^{2} =< 1$

$ => t = \dfrac{x}{y} =< \dfrac{1}{16} => \dfrac{1}{t} >= 16$

$ => \dfrac{t^{2} + 1}{t} = t + \dfrac{1}{t} = t + \dfrac{1}{256t} + \dfrac{255}{256t}$

$ >= 2\sqrt{t.\dfrac{1}{256t}} + \dfrac{255}{256}.16 = \dfrac{257}{16}$

$ P = \dfrac{2x^{2} + 5xy + 2y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 2 + \dfrac{5xy}{x^{2} + y^{2}}$

$ = 2 + \dfrac{5t}{t^{2} + 1} =< 2 + 5.\dfrac{16}{257} = \dfrac{594}{257}$

$ => MaxP = \dfrac{594}{257} <=> t = \dfrac{1}{16}$

$ <=> 16x = y <=> x = \dfrac{1}{2}; y = 8$