cho các số thực x,y thỏa mãn x+y+4=0.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A=2(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)+10xy

Đáp án:

GTLN $A = 32$ khi $x = y = - 2$

Giải thích các bước giải:

$A = 2( x^{3} + y^{3} ) + 3( x^{2} + y^{2} ) + 10xy$

⇔ $A = 2[ ( x + y )^{3} - 3xy( x + y ) ] + 3( x^{2} + 2xy + y^{2} ) + 4xy$

⇔ $A = 2( x + y )^{3} - 6xy( x + y ) + 3( x + y )^{2} + 4xy$

⇔ $A = 2.(-4)^{3} - 6xy.(-4) + 3.(-4)^{2} + 4xy$

⇔ $A = - 80 + 28xy$

Ta đi chứng minh : $xy ≤ \frac{(x+y)^{2}}{4}$ với $∀ x , y ∈ R$

⇔ $4xy ≤ ( x + y )^{2}$

⇔ $4xy ≤ x^{2} + 2xy + y^{2}$

⇔ $x^{2} - 2xy + y^{2} ≥ 0$

⇔ $( x - y )^{2} ≥ 0$ luôn đúng với $∀ x , y ∈ R$

Áp dụng : 

$A = - 80 + 28xy ≤ - 80 + 28.\frac{(x+y)^{2}}{4}$

⇔ $A ≤ - 80 + 7( x + y )^{2}$

⇔ $A ≤ - 80 + 7.(-4)^{2}$

⇔ $A ≤ 32$

Dấu "=" xảy ra ⇔ $x = y , x + y = - 4$

⇔ $x = y = - 2$