cho các số thực x>1 và y>0 thoả mãn log(2x+3y)/xy+1=xy-2x-3y+1 giá trị lớn nhất 5x+y=?

Đáp án:

$\begin{array}{l}
\log \dfrac{{2x + 3y}}{{xy + 1}} = xy - 2x - 3y + 1\\
 \Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) - \log \left( {xy + 1} \right)\\
 = xy + 1 - \left( {2x + 3y} \right)\\
 \Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) + \left( {2x + 3y} \right) = \log \left( {xy + 1} \right) + xy + 1\\
Xet:f\left( t \right) = \log t + t\\
 \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\ln 10}} + 1 > 0\\
 \Rightarrow f\left( {2x + 3y} \right) = f\left( {xy + 1} \right)\\
 \Rightarrow 2x + 3y = xy + 1\\
 \Rightarrow x.\left( {y - 2} \right) = 3y - 1\\
 \Rightarrow x = \dfrac{{3y - 1}}{{y - 2}}\\
 \Rightarrow A = 5x + y\\
 = 5.\dfrac{{3y - 1}}{{y - 2}} + y\\
 = \dfrac{{13y - 5 + {y^2}}}{{y - 2}}\\
 \Rightarrow A.y - 2A = {y^2} + 13y - 5\\
 \Rightarrow {y^2} + \left( {13 - A} \right).y + 2A - 5 = 0\\
 \Rightarrow \Delta  \ge 0\\
 \Rightarrow {\left( {A - 13} \right)^2} - 4.\left( {2A - 5} \right) \ge 0\\
 \Rightarrow {A^2} - 26A + 169 - 8A + 20 \ge 0\\
 \Rightarrow {A^2} - 34A + 189 \ge 0\\
 \Rightarrow \left( {A - 7} \right)\left( {A - 27} \right) \ge 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \ge 27\\
A \le 7
\end{array} \right.
\end{array}$

=> 5x+y là hàm số đồng biến khi x>1; y>0

=> ko xác định được GTLN.

$\begin{array}{l}
\log \dfrac{{2x + 3y}}{{xy + 1}} = xy - 2x - 3y + 1\\
 \Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) - \log \left( {xy + 1} \right)\\
 = xy + 1 - \left( {2x + 3y} \right)\\
 \Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) + \left( {2x + 3y} \right) = \log \left( {xy + 1} \right) + xy + 1\\
Xet:f\left( t \right) = \log t + t\\
 \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\ln 10}} + 1 > 0\\
 \Rightarrow f\left( {2x + 3y} \right) = f\left( {xy + 1} \right)\\
 \Rightarrow 2x + 3y = xy + 1\\
 \Rightarrow x.\left( {y - 2} \right) = 3y - 1\\
 \Rightarrow x = \dfrac{{3y - 1}}{{y - 2}}\\
 \Rightarrow A = 5x + y\\
 = 5.\dfrac{{3y - 1}}{{y - 2}} + y\\
 = \dfrac{{13y - 5 + {y^2}}}{{y - 2}}\\
 \Rightarrow A.y - 2A = {y^2} + 13y - 5\\
 \Rightarrow {y^2} + \left( {13 - A} \right).y + 2A - 5 = 0\\
 \Rightarrow \Delta  \ge 0\\
 \Rightarrow {\left( {A - 13} \right)^2} - 4.\left( {2A - 5} \right) \ge 0\\
 \Rightarrow {A^2} - 26A + 169 - 8A + 20 \ge 0\\
 \Rightarrow {A^2} - 34A + 189 \ge 0\\
 \Rightarrow \left( {A - 7} \right)\left( {A - 27} \right) \ge 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \ge 27\\
A \le 7
\end{array} \right.
\end{array}$

=> 5x+y là hàm số đồng biến khi x>1; y>0

=> ko xác định được GTLN.