Cho các giá trị $a,b,c,d,e$ sao cho $a^b=b^c=c^d=d^e=e^a$. Chứng minh $a=b=c=d=e$. Giúp em với mọi người ơi!
2 câu trả lời
Bổ sung đề : `a,b,c,d,e\in NN^**`
Không mất tính tổng quát giả sử `a\ne b`
$\bullet$ `a<b`
Mà `a^b = b^c = c^d = d^3 = e^a`
`-> a^b > e^a` (Do `b>a`)
`->a>e`
Tương tự : `b>c, d>c, d>e, a>b`
Điều này vô lí với giả thiết.
`->` Không tồn tại `a<b` (1)
$\bullet$ `a>b`
`-> a^b < e^a` (Do `a>b`)
`-> a< e`
Do đó : `b<c, d<c, d<e, a<b`
Điều này cũng vô lí với giả thiết
`->` Không tồn tại `a>b` (2)
(1)(2) Ta khẳng định chỉ có thể tồn tại `a=b`
Thật vậy từ giả thiết suy ra `a=b=c=d=e` (Đpcm)
Nhắc lại kiến thức: Hai lũy thừa bằng nhau nếu lũy thừa thứ `1` có cơ số lớn hơn lũy thừa thứ `2` thì số mũ của lũy thừa thứ 1 phải bé hơn số mũ của lũy thừa thứ `2` và ngược lại. (ĐK: các số đó cùng là số tự nhiên)
Bổ sung: `a;b;c;d;e in NN`*
Giả sử `a \ne b`
`***``TH1:` `a < b`
Mà `a^b = b^c` có `a < b => b > c`
Mà `b^c = c^d` có `c < b => c < d`
Mà `c^d = d^e` có `c < d => e < d`
Mà `d^e = e^a` có `e < d => e < a`
Mà `e^a = a^b` có `e < a => a > b `
Ta lại có `a < b =>` vô lý
`***``TH2:` `a > b`
Tương tự ta có:
`a > b; b < c; d < c; e < d; e > a => a < b` `=>` (vô lý)
`=>` Cả `2` trường hợp tồn tại của giả thiết `a;b;c;d;e in NN`* đều loại
`=> a = b = c = d = e`
