Cho ba số thực dương `x,y,z` thỏa mãn `x+y ≤ z`. Chứng minh rằng: `(x²+y²+z²)(1/(x ²)+1/(y ²)+1/(z ²)) ≥(27)/2` Giup mình với các bạn ơi :((
1 câu trả lời
Đặt `A=(x^2+y^2+z^2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2)`
`= 1 + x^2/y^2 + x^2/z^2 + y^2/x^2 + 1 + y^2/z^2 + z^2/x^2 + z^2/y^2 + 1`
`= 3 + (x^2/z^2 + y^2/z^2) + (z^2/x^2 + z^2/y^2) + (x^2/y^2 + y^2/x^2)`
`= 3 + (x^2/z^2 + z^2/(16x^2) ) + (y^2/z^2 + z^2/(16y^2)) + ((15z^2)/(16x^2) + (15z^2)/(16y^2)) + (x^2/y^2 + y^2/x^2)`
`>= 3 + 2\sqrt{x^2/z^2 . z^2/(16x^2)} + 2 . \sqrt{y^2/z^2 . z^2/(16y^2)} + (15z^2)/16 . 2\sqrt{1/x^2 . 1/y^2} + 2\sqrt{x^2/y^2 . y^2/x^2}`
`>= 3 + 1/2 + 1/2 + 2 + (15z^2)/8 . 1/(xy)`
`>= 6 + (15z^2)/8 . 1/(xy)`
Xét : `(15z^2)/8 . 1/(xy)`
Theo cô-si có : `x+y>= 2\sqrt{xy} -> xy\le (x+y)^2/4`
`-> (15z^2)/8 . 1/(xy)>= (15z^2)/8 . 1/((x+y)^2/4) = (15z^2)/8 . 4/(x+y)^2>= 15/2`
`-> A>=6+15/2=27/2`
Dấu "`=`" xảy ra khi : `x=y, x+y=z`
`<=>x=y=1/2 z`
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
- Đề thi học kì 2 môn địa 9 có lời giải chi tiết
- Đề thi học kì 2 môn địa 9 có lời giải chi tiết
- Đề thi học kì 2 môn địa 9 có lời giải chi tiết
- Đề thi học kì 2 môn địa 9 có lời giải chi tiết giúp các em luyện tập và củng cố kiến thức hiệu quả
- Kiểm tra 15 phút lần 1 học kì 1 - đề số 5 Địa 9 có lời giải chi tiết
