$Cho \, b \ge a. \, CM \, |sin(a)-sin(b)| \le |b-a|$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Xét hàm số $: y = x - sinx$ xác định và liên tục trên $ R$

$ y' = 1 - cosx = 2sin²\dfrac{x}{2} ≥ 0 ∀x ∈ R$ 

$ ⇒ y $ đồng biến trên $R$

$ ⇒ ∀a, b ∈ R ; a ≤ b ⇔ a - sina ≤ b - sinb $

$ ⇔ - (b - a) ≤ sina - sinb (1)$

Tương tự xét hàm số $: y = x + sinx$ xác định và liên tục trên $ R$

$y' = 1 + cosx = 2cos²\dfrac{x}{2} ≥ 0 ∀x ∈ R$ 

$ ⇒ y $ đồng biến trên $R$

$ ⇒ ∀a, b ∈ R ; a ≤ b ⇔ a + sina ≤ b + sinb $

$ ⇔ sina - sinb ≤ b - a (2)$

$(1); (2) ⇒ - (b - a) ≤ sina - sinb ≤ b - a $

$ ⇔ |sina - sinb| ≤ b - a = |b - a| (đpcm)$