Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng a) BD là trung trực của AE; b) DF = DC vẽ hình nha

a.Xét ΔABD và ΔEBD có :

-∠BAD=∠BED(=$90^{o}$ )

-BD cạnh chung

-∠B1=∠B2(BD là p/g của góc ∠ABE)

=> ΔABD =ΔEBD(cạnh huyền - góc nhọn)

=>BA=BE(tương ứng)

gọi G là giao điểm của BD và AE 

xét ΔABG và ΔEBG có 

-BG cạnh chung

-∠B1=∠B2(BD là p/g của góc ∠ABE)

-BE=BA(tương ứng)

=> ΔABG =ΔEBG(c-g-c)

=>AG=EG(tương ứng)=>G là trung điểm của AE

=>∠BGA=∠BGE(tương ứng)

  mà ∠BGA+∠BGE=$180^{o}$ (kề bù)

=>∠BGA=∠BGE=$\frac{180^{o}}{2}$ =$90^{o}$

=> BG ⊥AE 

có : G là trung điểm của AE(cmt)

  mà BG⊥AE (cmt)

=> BG là đường trung trực của AE hay BD là đường trung trực của AE

b, có : -ΔABD=ΔEBD ( câu a)=>AD=ED(tương ứng)

          - ∠BED+∠DEC=$180^{o}$(kề bù)

            ∠BAD+∠DAF=$180^{o}$(kề bù)

              mà ∠BED=∠BAD(=$90^{o}$)

=> ∠DEC=∠DAF

xét ΔDAF và ΔDEC có :

- ∠DEC=∠DAF(CMT)

-AD=ED(cmt)

-∠D1=∠D2(đối đỉnh )

=> ΔDAF = ΔDEC(g-c-g)

=>DF=DC(tương ứng)