Cho `\triangle` `ABC` vuông tại `A` `(AB > AC)` `.` Tia phân giác `\hat{B}` cắt `AC` tại `D` `.` Kẻ `DH \bot BC` `.` Trên tia `AC` lấy điểm `E` sao cho `AE = AB` `.` Đường thẳng vuông góc với `AE` tại `E` cắt `DH` tại `K` `a,` Chứng minh `BA = BH` `b,` Kẻ `BI \bot EK` `.` Chứng minh `\hat{DBK} = 45^o` `c,` Cho `AB = 4 cm` , tính chu vi `\triangle` `DEK`

`a)` Xét $∆BAD$ và $∆BHD$ có:

`\qquad \hat{BAD}=\hat{BHD}=90°`

`\qquad BD` là cạnh chung 

`\qquad \hat{ABD}=\hat{HBD}` (do `BD` là phân giác `\hat{ABC})`

`=>∆BAD=∆BHD` (cạnh huyền-góc nhọn)

`=>BA=BH` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

`b)` Vì $AE=AB$ (gt)

`=>∆ABE` cân tại `A`

Mà `∆ABE` vuông tại `A` 

`=>∆ABE` vuông cân tại `A`

`=>\hat{ABE}=\hat{AEB}=45°`

$\\$

Ta có `\hat{AEI}=90°` (gt)

`=>\hat{BEI}+\hat{AEB}=90°`

`=>\hat{BEI}+45°=90°`

`=>\hat{BEI}=45°`

Mà $∆BEI$ vuông tại $I$ (do $BI\perp EK$)

`=>∆BEI` vuông cân tại `I`

`=>\hat{EBI}=45°; IB=IE`

$\\$

Xét $∆BIE$ và $∆BAE$ có:

`\qquad \hat{BIE}=\hat{BAE}=90°`

`\qquad BE` là cạnh chung 

`\qquad \hat{BEI}=\hat{BEA}=45°`

`=>∆BIE=∆BAE` (ch-gn)

`=>BI=BA` (hai cạnh tương ứng)

Mà `BA=BH` (câu a)

`=>BH=BI`

$\\$

Xét $∆BHK$ và $∆BIK$ có:

`\qquad \hat{BHK}=\hat{BIK}=90°`

`\qquad BK` là cạnh chung

`\qquad BH=BI` (c/m trên)

`=>∆BHK=∆BIK` (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

`=>HK=IK` (hai cạnh tương ứng)

`\qquad \hat{HBK}=\hat{IBK}` (hai góc tương ứng)

Ta có:

`\qquad \hat{ABI}=\hat{ABE}+\hat{EBI}=45°+45°=90°`

`=>\hat{ABD}+\hat{HBD}+\hat{IBK}+\hat{HBK}=90°`

`=>2\hat{HBD}+2\hat{HBK}=90°`

(vì `\hat{ABD}=\hat{HAD};\hat{HBK}=\hat{IBK})`

`=>\hat{HBD}+\hat{HBK}=45°`

`=>\hat{DBK}=45°`

$\\$

`c)` `∆BAD=∆BHD` (câu a)

`=>DA=DH` (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

`P_{∆DEK}=DE+DK+EK`

`=DE+DH+HK+EK`

`=DE+DA+IK+EK`

(Vì `DA=DH;HK=IK)`

`=AE+IE`

`=AB+AB`

(Vì `AE=AB; IE=IB=BH=BA` c/m trên)

`=2AB=2.4=8cm`

Vậy `P_{∆DEK}=8cm`