Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại F a, Chứng minh: EM.AM = MF.OA b, Chứng minh: ES = EM = EF

Đáp án + giải thích các bước giải:

a) Ta có `EM` là tiếp tuyến của `(O)`

`->\hat{EMO}=90^0`

`->\hat{EMF}+\hat{FMO}=90^0 (1)`

Lại có `OA=OB=OM=R`

`->ΔAMB` vuông tại `M`

`->\hat{AMF}=90^0`

`->\hat{AMO}+\hat{FMO}=90^0 (2)`

Từ `(1),(2)->\hat{EMF}=\hat{AMO}`

mà `OA=OM->ΔOAM` cân tại `O->\hat{AMO}=\hat{OAM}`

`->\hat{EMF}=\hat{OAM}`

mà `\hat{MEF}=\hat{AOM}` (cùng phụ `\hat{MOF}`)

`->ΔMEF`$\sim$`ΔAOM(gg)`

`->(ME)/(AO)=(MF)/(AM)`

`->EM.AM=MF.OA`

b) `ΔMEF`$\sim$`ΔAOM(gg)`

`->\hat{EFM}=\hat{OMA}`

mà `\hat{EMF}=\hat{AMO} (cmt)`

`->\hat{EFM}=\hat{EMF}`

`->ΔEMF` cân tại `E`

`->EM=EF`

Xét `ΔAOS` vuông tại `O`, có:

`\hat{ESM}+\hat{MAO}=90^0`

mà `\hat{MAO}=\hat{FME} (ΔMEF`$\sim$`ΔAOM)`

`->\hat{ESM}+\hat{FME}=90^0`

mà `\hat{FME}+\hat{EMS}=90^0`

`->\hat{ESM}=\hat{EMS}`

`->ΔSEM` cân tại `E`

`->ES=EM`

`->ES=EM=EF`