Cho a,b thuộc N sao thỏa mãn (a+b)(a+b+1)=b^2 CMR: a+b và a+b+1 đều là các số chính phương
2 câu trả lời
Gọi Uớc chung lớn nhất $(a-b; a+b+1)=d(d\in N)$
$\to \begin{cases} a-b\vdots d\\a+b+1\vdots d\end{cases}\\\to (a-b)(a+b+1)\vdots d\\\to b\vdots d$
Mặt khác : $a+b+1-a+b\vdots d$
$\to 2b+1\vdots d$
Do $2b\vdots d$
$\to 1\vdots d$
`->d\in Ư (1)={1;-1}`
$\to d=1\\\to (a-b)(a+b+1)=1$
$\to a-b, a+b+1$ là 2 số nguyên tố cùng nhau
Mà $(a-b)(a+b+1)=b^2$
$\to a-b, a+b+1$ là các số chính phương
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có (a + b + 1)( a + b) = b^2 = 1 . b^ 2 = b^2 * 1 = b * b
TH1: a + b = 1, a + b + 1 = b ^ 2 => a+b, a + b + 1 đều là số chính phương
TH2: làm ngược lại ( a + b = b^2, a + b +1 = 1)
TH3: a + b = b, a + b + 1 = b => a = 0, a = -1 (vô lí vì a,b thuộc N)
Từ TH1 và TH2, TH3 => Với (a+b+1)(a + b)=b^2 thì a+b và a+b+1 đều là số chính phương
