Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a³ + b³ + 6ab ≤ 8. CM: P = a + 2b + $\frac{2}{a}$ + $\frac{3}{b}$ ≥ 8

Đáp án và giải thích các bước giải:

Có : `a^3+b^3+6ab≤8`

`⇔` `a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2+6ab≤8`

`⇔` `(a+b)^3-3ab(a+b)+6ab≤8`

`⇔` `(a+b)^3-8≤3ab(a+b-2)`

`⇔` `(a+b-2)[(a+b)^2-2(a+b)+4]≤3ab(a+b-2)`

Nếu `a+b-2>0`

`⇒` `(a+b)^2-2(a+b)+4≤3ab`

`⇔` `(a-2)^2+(b-2)^2+(a+b)^2≤0`

Mà `(a-2)^2+(b-2)^2+(a+b)^≥0∀a,b∈`$\mathbb{R}$

`→` Vô lý 

Nếu `a+b-2≤0`

`⇒` `-[(a+b)^2-2(a+b)+4]≤-3ab`

`⇒` `(a+b)^2-2(a+b)+4≤3ab`

`⇔` `(a-2)^2+(b-2)^2+(a+b)^2≤0`

Mà `(a-2)^2+(b-2)^2+(a+b)^≥0∀a,b∈`$\mathbb{R}$

`→` Thoả mãn

Ta có : `P=2a+2/a+3b+3/b-a-b`

`P=(2a+2/a)+(3b+3/b)-(a+b)`

Nhận xét :

`2a+2/a≥2\sqrt[2a.{2}/a]=4` `(cosi)`

`3b+3/b≥2\sqrt[3b.{3}/b]=6` `(cosi)`

`a+b-2≤0⇒a+b≤2⇒-(a+b)≥-2`

`⇒` `(2a+2/a)+(3b+3/b)-(a+b)≥8`

`⇔` `P≥8`

`⇒` `P_{min}=8⇔a=b=1`