Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)
2 câu trả lời
Đáp án và giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT cô-si ta có :
`(a+b)(b+c)≤[{(a+b)+(b+c)}/{2}]^2={(3+b)^2}/{4}`
`(b+c)(c+a)≤[{(b+c)+(c+a)}/{2}]^2={(3+c)^2}/{4}`
`(c+a)(a+b)≤[{(c+a)+(a+b)}/{2}]^2={(3+a)^2}/{4}`
`⇒` `[(a+b)(b+c)(c+a)]^2≤[(3+a)(3+b)(3+c)]^2/{64}`
`⇒` `[(a+b)(b+c)(c+a)]^{2}.64≤[(3+a)(3+b)(3+c)]^2`
`⇔` `8(a+b)(b+c)(c+a)≤(3+a)(3+b)(3+c)`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`8(a+b)(b+c)(c+a)<=(3+a)(3+b)(3+c)`
`<=>8(a+b)(b+c)(c+a)<=(a+b+c+a)(a+b+c+b)(a+b+c+c)`
`<=>8(a+b)(b+c)(c+a)<=[(a+b)+(a+c)][(b+a)+(b+c)][(c+a)+(c+b)]`
Đặt `(a+b,b+c,c+a)=(x,y,z) (x,y,z>0)`
`=>BĐT<=>8xyz<=(x+y)(y+z)(z+x)`
Do `x,y,z>0` ,Áp dụng BĐT Co-si
`=>(x+y)(y+z)(z+x)>=2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz`
`=>đpcm`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1`
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm