Cho a,b,c là các số dương thay đổi và TMĐK : `\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1` Tìm Min của `E=(a^2)/(a+b)+(b^2)/(b+c)+(c^2)/(c+a)`
2 câu trả lời
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Ta có :
`(a^2)/(a+b)+(a+b)/4>=2\sqrt{(a^2)/(a+b) . (a+b)/4}=a`
Tương tự ta có : `(b^2)/(b+c)+(b+c)/4>=b` và `(c^2)/(c+a)+(c+a)/4>=c`
Cộng các BĐT trên theo vế được :
`(a^2)/(a+b)+(b^2)/(b+c)+(c^2)/(c+a)+(a+b)/4+(b+c)/4+(c+a)/4>=a+b+c`
`<=>(a^2)/(a+b)+(b^2)/(b+c)+(c^2)/(c+a)>=(a+b+c)/2`
Do `a+b>=2\sqrt{ab}` ; `b+c>=2\sqrt{bc}` ; `c+a>=2\sqrt{ca}`
`=>a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1` ( theo đề ra )
`=>(a^2)/(a+b)+(b^2)/(b+c)+(c^2)/(c+a)>=1/2`
Đẳng thức xảy ra khi : `a=b=c=1/3`
Vậy $Min_E =$ `1/2` tại `a=b=c=1/3`
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm