Cho a, b, c là 3 số thực bất kì: Chứng minh bất đẳng thức sau $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} }{3}$ $\geq$ ($\frac{a + b + c}{3})^{2}$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`(a^2+b^2+c^2)/3 >= ((a+b+c)/3)^2`

`<=> (a^2+b^2+c^2)/3 >= (a+b+c)^2/9`

`<=>9(a^2+b^2+c^2)>= 3(a+b+c)^2 `

`<=>3 (a^2+b^2+c^2>= (a+b+c)^2 `

`<=> 3(a^2+b^2+c^2) >= a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca)`

`<=> 2(a^2+b^2+c^2) >= 2(ab+bc+ca)`

`<=>( a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)>=0`

`<=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 >=0 (1)`

Mà:

`(a-b)^2 >=0 \forall a;b`

`(b-c)^2 >=0 \forall b;c`

`(c-a)^2 >=0 \forall c;a`

`-> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 >=0 \forall a;b;c`

`-> (1)` luôn đúng

`-> đpcm (=` khi `a=b=c`)

Đáp án:

`(a^2+b^2+c^2)/3ge((a+b+c)/3)^2`

Giải thích các bước giải:

Giả sử:
`(a^2+b^2+c^2)/3ge((a+b+c)/3)^2`
`<=>(3a^2+3b^2+3c^2)/9ge(a+b+c)^2/9`
`<=>3a^2+3b^2+3c^2ge(a+b+c)^2`
`<=>3a^2+3b^2+3c^2gea^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc`
`<=>3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2ac-2bcge0`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bcge0`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)ge0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2ge0(text{luôn đúng})`
`=>(a^2+b^2+c^2)/3ge((a+b+c)/3)^2(text{ĐPCM})`
Dấu `=` xảy ra khi:
`{(a-b=0),(b-c=0),(c-a=0):}`
`<=>{(a=b),(b=c),(c=a):}`
`<=>a=b=c`