cho a,b,c là 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 3 Tìm min S=$a^{8}$+$b^{8}$+$c^{8}$+2.(a-1).(b-1).(c-1) nhanh lên nha mấy chế ơi

Đáp án + giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a^8+1+1+1+b^8+1+1+1+c^8+1+1+1>=4(a^2+b^2+c^2)`

`->a^8+b^8+c^8>=4(a^2+b^2+c^2)-9`

`->S>=3(a^2+b^2+c^2-3)+a^2+b^2+c^2+2(a-1)(b-1)(c-1)`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a^2+1+b^2+1+c^2+1>=2(a+b+c)=6`

`->a^2+b^2+c^2>=3`

`->S>=a^2+b^2+c^2+2(a-1)(b-1)(c-1)=a^2+b^2+c^2+2(abc-ab-bc-ca+a+b+c-1)=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+4+2abc`

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số `a-1,b-1,c-1` luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử hai số đó là `a-1,b-1`

`->(a-1)(b-1)>=0`

`->c(a-1)(b-1)>=0`

`->abc>=ac+bc-c`

`->S>=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+4+2(ac+bc-c)=a^2+b^2+c^2-2ab-2c+4=(a-b)^2+(c-1)^2+3>=3`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1`