cho a,b,c,d tùy ý : CMR : 1/a+1/b+1/6 >=p+q/pa+qb+p+q/pq/qc+p+q/pc+qa Gấp :<

Đáp án:

Dấu `=` xảy ra khi `x=y=z=t=1/2`

Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki có :

`(xy+yz+zt+tx)^2 le (x^2+y^2+z^2+t^2)(y^2+z^2+t^2+x^2)`

`=>1 le x^2+y^2+z^2+t^2(1)`

Gọi `x,y,z,t` lần lượt là `y+z+t,x+z+t,x+y+t,x+y+z`

Áp dụng bất đẳng thức Trư-bê-sếp cho :

$\begin{cases} x^3 \ge y^3 \ge z^3 \ge t^3\\\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{1}{t} \end{cases}$

`(x^3)/x+(y^3)/t+(z^3)/z+(t^3)/t ge 1/4(1/x+1/y+1/z+1/t)(x^3+y^3+z^3+t^3)(2)`

Áp dụng bất đẳng thức Trư-bê-sếp cho :

$\begin{cases} x \ge y \ge z \ge t\\x^2 \ge y^2 \ge z^2 \ge t^2 \end{cases}$

`(x^3+y^3+z^3+t^3) ge 1/4(x+y+z+t)(x^2+y^2+z^2+t^2)`

Mà

`x+y+z+t=1/3(x+y+z+x+y+t+x+z+t+y+z+t)=1/3(x+y+z+t)`

`=>(x^3+y^3+z^3+t^3) ge 1/4(x^2+y^2+z^2+t^2) 1/3(x+y+z+t)(3)`

Từ `(2)` và `(3)` có :

`(x^3)/x+(y^3)/t+(z^3)/z+(t^3)/t ge 1/48(x^2+y^2+z^2+t^2)(x+y+z+t)(1/x+1/y+1/z+1/t)`

Từ `(1)` có :

`1 le x^2+y^2+z^2+t^2`

Áp dụng bất đẳng thức `Cô-si` cho `x,y,z,t >0`

`x+y+z+y ge 4sqrt{x.y.z.t}`

`1/x+1/y+1/z+1/t ge 4sqrt{1/(x.y.z.t)}`

`=>(x+y+z+t)(1/x+1/y+1/z+1/t)ge 16`

`=>(x^3)/x+(y^3)/t+(z^3)/z+(t^3)/t ge 1/48.1.1/16=1/3`

Thay `x,y,z,t` có :

`x^3/(y+z+t)=y^3/(x+z+t)=z^3/(x+y+t)=t^3/(x+y+z) ge 1/3`

Dấu `=` xảy ra khi `x=y=z=t=1/2`