Cho a,b,c > 0. CM: (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) >= 9abc

Áp dụng bất đẳng thức ` Cô - si ` cho ba số không âm, ta có:

$ a + b + c ≥ 3\sqrt[3]{abc} $ $(1)$

$ a^2 + b^2 + c^2 ≥ 3\sqrt[3]{a^2 b^2 c^2} $ $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra:

$ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2 b^2 c^2} $

$ ⇔ $ $ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 9\sqrt[3]{a^3 b^3 c^3} $

$ ⇔ $ $ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 9abc $ $(đpcm)$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm:

$+)^{}$ $(a+b+c)^{}$ $\geq$ $3^{}$$\sqrt[3]{abc}$

$+)^{}$ $(a^2+b^2+c^2){}$ $\geq$ 3$\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

⇒ $(a+b+c)^{}$$(a^2+b^2+c^2)^{}$ $\geq$ 3$\sqrt[3]{abc}$ $.^{}$ $3^{}$$\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ 

⇔ $(a+b+c)^{}$$(a^2+b^2+c^2)^{}$ $\geq$ $9^{}$$abc^{}$ 

Vậy ta có điều phải chứng minh