Cho `a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)=4/3` CM. `-1<=a+b+c<=4`
1 câu trả lời
Ta có:
`a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) = 4/3`
`⇔ a^2 + b^2 + c^2 - (a + b + c) = 4/3`
`⇔ 3[(a^2 + b^2 + c^2) - (a + b + c)] = 3 . 4/3 = 4`
Áp dụng BĐT $3(x^2 + y^2 + z^2) \geqslant (x + y + z)^2$, ta có:
$ 3[(a^2 + b^2 + c^2) - (a + b + c)]$
$= 3(a^2 + b^2 + c^2) - 3(a + b + c) \geqslant (a + b + c)^2 - 3(a + b + c)$
$⇒ 4 \geqslant (a + b + c)^2 - 3(a + b + c)$
$⇔ (a + b + c)^2 - 3(a + b + c) - 4 \leqslant 0$
Đặt: `a + b + c = A`, ta có:
$A^2 - 3A - 4 \leqslant 0$
$⇔ A^2 + A - 4A - 4 \leqslant 0$
$⇔ A(A + 1) - 4(A + 1) \leqslant 0$
$⇔ (A + 1)(A - 4) \leqslant 0$
$⇔\left[\begin{matrix} \begin{cases} A + 1 \geqslant 0\\A - 4 \leqslant 0\\ \end{cases}\\ \begin{cases} A + 1 \leqslant 0\\A - 4 \geqslant 0\\ \end{cases}\end{matrix}\right.$
$⇔\left[\begin{matrix} \begin{cases} A \geqslant -1\\A \leqslant 4\\ \end{cases} \Rightarrow - 1 \leqslant A \leqslant 4\ \text{(TM)}\\ \begin{cases} A \leqslant -1\\A \geqslant 4\\ \end{cases}\text{(Loại)}\end{matrix}\right.$
Hay: $-1 \leqslant a + b + c \leqslant 4$ khi:
`+)` $a + b + c \geqslant - 1$ khi: `a = b = c = -1/3`
`+)` $a + b + c \leqslant 4$ khi: `a = b = c = 4/3`