Cho `2005` số thực `a_1 ; a_2 ; a_3 ; .... ; a_2005` thỏa mãn `3 \ge a_1 \ge 1 với i = 1,2,3,..2005` và có tổng `a_1 + a_2+a_3+...+a_2005=2215.` CMR `a_1^3+ a_2^3 + a_3^3 + ... +a_2005^3 \le 4735`
1 câu trả lời
Ta có :
`1 \le a_1 \le 3`
`=> {(a_i - 1 \ge 0 ),(a_i - 3 \le 0):}`
`=> (a_1 - 1) (a_i - 3) \le 0`
`=> a_i^2 - 4a_i + 3 \le 0`
`=> a_i^2 \le 4a_i - 3 (1)`
`=> a_i^3 \le 4a_i - 3a_i (2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra : `a_i^3 \le 4 (4a_i - 3) - 3 a_i = 13 a_i - 12`
Với `i = 1,2,3,..,2005` thì ta có :
`a_1^3 \le 13a_1 - 12`
`a_2^3 \le 13a_2 - 12`
`a_3^3 \le 13a_3 - 12`
`.....`
`a_2005^3 \le 13a_2005 - 12`
Do đó : `a_1^3 + a_2^3+a_3^3+...+a_2005^3 \le 13 . (a_1 + a_2+a_3+...+a_2005) - 2005 - 12`
`=> a_1^3 + a_2^3+a_3^3+...+a_2005^3 \le 13 . 2215 - 2005 . 12`
`=> a_1^3 + a_2^3+a_3^3+...+a_2005^3 \le 4735`
Dấu `=` xảy ra khi và chỉ khi trong các số `a_i` có `105` số `3` và `1900` số `1`
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm