Câu 4: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C làtiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC)a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.b) Vẽ MPBC (PBC). Chứng minh: MPK MBC.c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

a)

Tứ giác $AIMK$ có $\widehat{AIM}+\widehat{AKM}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

$\Rightarrow AIMK$ là tứ giác nội tiếp

b)

Tứ giác $CKMP$ có $\widehat{CKM}+\widehat{CPM}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

$\Rightarrow CKMP$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MPK}=\widehat{MCK}$ và$\widehat{MKP}=\widehat{MCP}$

$\Rightarrow \widehat{MPK}=\widehat{MBC}$ và $\widehat{MKP}=\widehat{MCB}$

$\Rightarrow \Delta MPK\backsim\Delta MBC\left( g.g \right)$

c)

Có các tứ giác  $CKMP$ ; $BPMI$ nội tiếp

Và với các tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung

Ta sẽ chứng minh được 2 ý:

$\widehat{MIP}=\widehat{MPK}$

$\widehat{MPI}=\widehat{MKP}$

$\Rightarrow \Delta MIP\backsim\Delta MPK\left( g.g \right)$

$\Rightarrow MI.MK=M{{P}^{2}}$

$\Rightarrow MI.MK.MP=M{{P}^{3}}$

$\Rightarrow MI.MK.MP$ lớn nhất khi $MP$ lớn nhất

$MP$ lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa cung $BC$