Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh S và tạo với đáy một góc bằng 60 độ thiết diện thu được là một tam giác đều có diện tích bằng 9 căn 3 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho .

Cắt hình nón bởi `mp(SAC)` như hình vẽ.

`∆SAC` đều `=>SA=SC=AC`

Gọi $H$ là trung điểm $AC$, $O$ là tâm đường tròn đáy.

$⇒ SH\perp{AC}; OH\perp{AC}$

`=>`Góc tạo bởi `(SAC)` và đáy hình nón là góc tạo bởi `SH` và `OH`

`=>\hat{SHO}=60°`

`∆SAH` vuông tại `H`

`=>SH=SA.sinSAH`

`=SA.sin60°=SA.\sqrt{3}/2`

`S_{∆SAC} =1/ 2 .SH.AC=9\sqrt{3}`

`<=>SA.\sqrt{3}/2 .SA=18\sqrt{3}`

`<=>SA^2 =36=>SA=6`

`=>SH=SA.\sqrt{3}/2 =3\sqrt{3}`

`∆SOH` vuông tại `O`

`=>SO=SH.sinSHO=3\sqrt{3}.sin60°=9/2`

`∆SAO` vuông tại `O`

`=>OA^2=SA^2-SO^2=6^2-(9/2)^2={63}/4`

`=>OA={3\sqrt{7}}/2`

`=>S_{xq}=πrl=π.OA.SA`

`=π.{3\sqrt{7}}/2 .6=9\sqrt{7}π (đvdt)`

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:

`S_{xq}= 9\sqrt{7}π (đvdt)`