Biết hàm số f(x)=2.x^3+ 3a.x^2+6x+1 và g(x)=2x^3+3b.x^2+12x+4 có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức |a|+|b| bằng ?

Đáp án:

`(|a|+|b|)_min=2\sqrt 6`

Giải thích các bước giải:

Gọi điểm cực trị của hàm số `f(x)` và `g(x)` là t

Do hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên khoảng `(-\infty,+infty)`

Suy ra $\displaystyle \left \{ {{f'(t)=0} \atop {g'(t)=0}} \right.$  `(1)`

mà $\displaystyle\left \{ {{f(x)=2x^3+3ax^2+6x+1} \atop {g(x)=2x^3+3bx^2+12x+4 }} \right.$ 

`=>(1)=>`$\displaystyle\left \{ {{t^2+at+1=0} \atop {t^2+bt+2=0}} \right.$ `=>` $\displaystyle\left \{ {{t(a+t)=-1} \atop {t(b+t)=-2}} \right.$ `=>` $\displaystyle\left \{ {{a=-\left(t+\dfrac 1t\right)} \atop {b=-\left(t+\dfrac 2t\right)}} \right.$

Do đó: `|a|+|b|=|t+1/t|+|t+2/t|=|t|+1/|t|+|t|+2/|t|`

`->|a|+|b|=2|t|+3/|t|>=2\sqrt{2|t|3/|t|}=2\sqrt 6`

`\to (|a|+|b|)_min=2\sqrt 6`