Bài toán 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Lấy điểm M bất kì trên đường chéo AC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AD tại Q. Chứng minh rằng: 1MP2+MQ2≤1AB2+1CD2 Đẳng thức xảy ra khi nào???

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Xét tam giác \(ADC\), theo hệ quả định lý Talet ta có \(\dfrac{{MQ}}{{CD}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}\) Tương tự ta có \(\dfrac{{MP}}{{AB}} = \dfrac{{CM}}{{AC}}\) Suy ra \(\dfrac{{MQ}}{{CD}} + \dfrac{{MP}}{{AB}} = \dfrac{{MQ}}{{CD}} + \dfrac{{MC}}{{CD}} = \dfrac{{MQ + MC}}{{CD}} = \dfrac{{CD}}{{CD}} = 1\) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ${\left( {\dfrac{{MQ}}{{CD}} + \dfrac{{MP}}{{AB}}} \right)^2} \le \left( {M{Q^2} + M{P^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}}} \right)$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 \le \left( {M{Q^2} + M{P^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{M{Q^2} + M{P^2}}} \le \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}}\end{array}$ Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{{MP}}{{MQ}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\)