Bài tập 1: Cho hàm số y = 3x+1/x+2 a, Khảo sát b, Viết phương trinh tiếp tuyến của (C) tại điểm có x = −1

$y = f(x) = \dfrac{3x+1}{x+2}\qquad (C)$

$TXĐ: D = \Bbb R \backslash\{-2\}$

$+)$ Giới hạn và tiệm cận:

$\lim\limits_{x\to \pm \infty}y = \lim\limits_{x\to \pm \infty}\dfrac{3x+1}{x+2} = 3$

$\to y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim\limits_{x\to \pm (-2)^+}y = \lim\limits_{x\to \pm (-2)^+}\dfrac{3x+1}{x+2} = -\infty$

$\lim\limits_{x\to \pm (-2)^-}y = \lim\limits_{x\to \pm (-2)^-}\dfrac{3x+1}{x+2} = +\infty$

$\to x = -2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$+)$ Chiều biến thiên:

$y' = \dfrac{5}{(x+2)^2} >0\quad \forall x \in D$

$\to$ Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

$\to$ Hàm số không có cực trị

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & & -2 & & & +\infty\\
\hline
y' & & + & &\Vert& &+ &\\
\hline
&&&+\infty&\Vert&&&3\\
y & &\nearrow& &\Vert& &\nearrow\\
&3&&&\Vert&-\infty\\
\hline
\end{array}$

$+)$ Đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\dfrac92&-3&-\dfrac52&-1&-\dfrac13&0&\dfrac12&3\\
\hline
y&5&8&13&-2&0&\dfrac12&1&2\\
\hline
\end{array}$

- Đồ thị cắt trục $Ox$ tại $\left(-\dfrac13;0\right)$

- Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $\left(0;\dfrac12\right)$

$+)$ Kết luận

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(-2;3)$ làm tâm đối xứng

b) Gọi tiếp tuyến tại $M(x_o;y_o)$ của $(C)$ có dạng:

$(\Delta): y = f'(x_o)(x-x_o) + y_o$

Ta có:

$x_o = -1 \longrightarrow \begin{cases}f'(x_o) = \dfrac{5}{(-1 + 2)^2} = 5\\y_o = \dfrac{3.(-1)+1}{-1 +2} = -2\end{cases}$

$\Rightarrow (\Delta): y = 5(x+1) - 2$

$\Rightarrow (\Delta): y = 5x + 3$