Bài 5. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho BF = EC. Chứng minh rằng: a. ∆BAD = ∆EAD. b. ∆BDF = ∆EDC c. F, D, E thẳng hàng. d. AD ⊥ FC

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AB = AE\\
\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\left( { = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}} \right)\\
ADchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BAD = \Delta EAD\left( {c.g.c} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta BAD = \Delta EAD\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ABD} = \widehat {AED}\\
BD = ED
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD = ED\\
{180^0} - \widehat {ABD} = {180^0} - \widehat {AED}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD = ED\\
\widehat {DBF} = \widehat {DEC}
\end{array} \right.
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BD = ED\\
\widehat {DBF} = \widehat {DEC}\\
BF = EC
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BDF = \Delta EDC\left( {c.g.c} \right)
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta BDF = \Delta EDC\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {EDC}
\end{array}$

$\to F,D,E$ thẳng hàng.

d) Ta có:

$AB=AE$ và $BF=EC$$\to AB+BE=AE+EC$ hay $AE=AC$

$\to \Delta AFC$ cân ở $A$

Mà $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$ hay $\widehat{FAC}$

$\to AD$ cũng là đường cao của tam giác $AFC$

$\to AD\bot FC$