Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 600 , BC = 6cm a) Giải tam giác vuông ABC b) Kẻ đường cao AH. Tính HB, HC c) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh: AD. AB = AE. AC d) Chứng minh AD.BD + AE.EC = AH2.
1 câu trả lời
`a)` Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có:
`sin\hat{B}=(AC)/(BC)` ( tỉ số lượng giác trong `\triangle` vuông )
`=>AC=sin\hat{B}.BC=sin60^o .6=3\sqrt{3}` cm
Ta có: `BC^2=AB^2+AC^2` ( định lý pytago )
`=>AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2}=3` cm
Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có:
`sin\hat{B}=(AC)/(BC)=frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}`
`cos\hat{B}=(AB)/(BC)=3/6=1/2`
`tan\hat{B}=(AC)/(AB)=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}`
`cotang\hat{B}=(AB)/(AC)=\frac{3}{3\sqrt{3}}=3`
`sin\hat{C}=cos\hat{B}=(AB)/(BC)=3/6=1/2`
`cos\hat{C}=sin\hat{B}=(AC)/(BC)=frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}`
`tan\hat{C}=cotang\hat{B}=(AB)/(AC)=\frac{3}{3\sqrt{3}}=3`
`cotang\hat{C}=tan\hat{B}=(AC)/(AB)=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}`
`b)` Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có:
`AB^2=BC.HB` ( HTL `\triangle` vuông )
`=>HB=AB^2 :BC=3^2 :6=3/5=1,5` cm
Ta có: `BC=HB+HC`
`=>HC=BC-HB=6-1,5=4,5` cm
`c)` Xét `\triangle AHB` vuông tại `A` có:
`AH^2=AD.AB` ( HTL `\triangle` vuông ) `(1)`
Xét `\triangle AHC` vuông tại `A` có:
`AH^2=AE.AC` ( HTL `\triangle` vuông ) `(2)`
Từ `(1)` và `(2)=>AD.AB=AE.AC` ( cùng `=AH^2` ) ( đpcm )
`d)` Xét `\triangle AHC` vuông tại `A` có:
`HD^2=AD.BD` ( HTL `\triangle` vuông )
`HE^2=AE.EC` ( HTL `\triangle` vuông )
Nối `D` với `E`
Ta có: `DE^2=DH^2=HE^2` ( Định lý Pytago )
`=>DE^2=AD.BD+AE.EC` `(1)`
Xét tứ giác AEHD có:
`BAC=90^o` ( `\triangle AHC` vuông tại `A` )
`ADH=90^o` ( D là hình chiếu của H trên `AB` )
`AEH=90^o` ( E là hình chiếu của H trên `AC` )
`=>`Tứ giác AEHD là hình chữ nhật
`=>DE=AH` ( tính chất hình chữ nhật ) `(2)`
Từ `(1)` và `(2)=>AD.BD+AE.EC=AH^2` ( đpcm )