BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB ,AC. Chứng minh: a. Tứ giác AH = MN. b. MH.AC = NH.AB. c. Giả sử AH = 3 cm; trung tuyến AE = 5 cm . Tính cạch AB

`a)`

Xét tứ giác `AMHN` có:

`hat{NAM}=hat{ANH}=hat{AMH}=90^o`

`⇒` tứ giác `AMHN` là hình chữ nhật `(` tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật `)`

`⇒AH=MN(` tính chất hình chữ nhật `)(đpcm)`

`b)`

Vì tứ giác `AMHN` là hình chữ nhật
`⇒AN=MH` và `AM=NH(` tính chất hình chữ nhật `)`

Xét `ΔACH` vuông tại `H` và `HN` là đường cao ta có:

               `AH²=AN.AC(` hệ thức lượng `)(1)`

Xét `ΔABH` vuông tại `H` và `HM` là đường cao ta có:

               `AH²=AM.AB(` hệ thức lượng `)(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒AN.AC=AM.AB`

                        `⇒MH.AC=NH.AB(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔAHE` vuông tại `H` ta có:

            `AE²=AH²+HE²(` định lý Py-ta-go `)`

         `⇒HE²=AE²-AH²`

         `⇒HE=\sqrt{AE²-AH²}`

         `⇒HE=\sqrt{5²-3²}`

         `⇒HE=\sqrt{16}`

         `⇒HE=4(cm)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có `AE` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` nên ta có:

                                                `AE=1/2BC`

Mà `BE=1/2BC(g``t)`

`⇒AE=BE=5(cm)`

Ta có:`BE=BH+HE`

      `⇒BH=BE-HE`

      `⇒BH=5-4`

      `⇒BH=1(cm)`

Xét `ΔABH` vuông tại `H` ta có:

            `AB²=AH²+BH²(` định lý Py-ta-go `)`

         `⇒AB=\sqrt{AH²+BH²}`

         `⇒AB=\sqrt{3²+1²}`

         `⇒AB=\sqrt{10}(cm)`

Vậy `AB=\sqrt{10}cm`