Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn sao cho MOA=60độ. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn và cắt Ax, By lần lượt tại P và Q. a. Chứng minh PQ = AP + BQ. b. Tính độ dài BM biết AB = 12cm. c. Kẻ MN vuông góc với AB (N thuộc AB). I là giao điểm của BP và MN. So sánh CI và IN.

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $PM, PA$ là tiếp tuyến của $(O)\to PM=PA$

Tương tự $QM=QB$

$\to PQ=PM+MQ=AP+BQ$

b.Ta có $OM=OA, \widehat{MOA}=60^o\to\Delta MAO$ đều

$\to\widehat{MAB}=\widehat{MAO}=60^o$

Ta có $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{AMB}=90^o$

$\to\Delta MAB$ là nửa tam giác đều cạnh $AB=12cm$

$\to BM=\dfrac{AB\sqrt3}2=6\sqrt3$

c.Gọi $BM\cap AP=C$

Ta có $PM, PA$ là tiếp tuyến của $(O)\to PO\perp MA$

Mà $AM\perp MB\to PO//BM\to PO//BC$

Mà $O$ là trung điểm $AB$

$\to P$ là trung điểm $AC$

$\to PA=PC$

Ta có $MN//AC(\perp AB)$

$\to \dfrac{IM}{CP}=\dfrac{BI}{CP}=\dfrac{IN}{PA}$

Do $PA=PC\to IM=IN$