Bài 3. (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH, kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn tâm A (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rẳng: a) DB + EC = BC b) Ba điểm D, A, E thẳng hàng c) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$BH,BD$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(A,AH)$ cắt nhau tại $B$ với hai tiếp điểm $H,D$

$\to BD=BH$

Tương tự: Với hai tiếp tuyến $CH,CE\to CH=CE$

Như vậy: $DB+EC=BH+CH=BC$

b) Ta có:

$BH,BD$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(A,AH)$ cắt nhau tại $B$ với hai tiếp điểm $H,D$

$\to \widehat{BAD}=\widehat{BAH}$

Và tương tự ta có: $\widehat{CAH}=\widehat{CAE}$

$\to \widehat{BAD}+\widehat{BAH}+\widehat{CAH}+\widehat{CAE}=2(\widehat{BAH}+\widehat{CAH})$

Hay $\widehat{DAE}=2\widehat{BAC}=180^0$

$\to D,A,E$ thẳng hàng.

c) Gọi $F$ là trung điểm của $BC$

Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên đường tròn đường kính $BC$ chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Ta có:

$BD,CE$ là tiếp tuyến của $(A;AH)$

$\to BD\bot DE; CE\bot DE$

$\to BD//CE(\bot DE)$

$\to BDEC$ là hình thang vuông

Mà $AD=AE\to A $ là trung điểm của $DE$ và $F$ là trung điểm $BC$ $\to AF$ là đường trung bình của hình thang vuông $BDEC$

$\to AF//BD$

$\to AF\bot DE$

$\to DE$ là tiếp tuyến đường tròn đường kính $BC$