Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. a. Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp . b. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. c. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. d. H và M đối xứng nhau qua BC. e. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Đáp án:

. Xét tứ giác $CEHD$ có :

$CEH$ = $90$ ($BE$ là đường cao )

$CDH$ = $90$ ($AD$ là đường cao )

⇒ $CEH + CDH$ = $90 + 90 = 180$

Mà $CEH$ và $CDH$ là hai góc đối của tứ giác $CEHD$

⇒ $CEHD$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)

2. $BE$ là đường cao ( gt )

⇒ $BE$ ⊥ $AB$ ⇒ $BFC$ = $90$

Như vậy $E$ và F$ cùng nhìn $BC$ dưới một góc $90$ ⇒ $E$ và $F$ cùng nằm trên (O) đường kính $AB$

⇒ $4$ điểm $B$, $C$, $E$, $F$ cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)

3. Xét $ΔAEH$ và $ΔADC$ có :

$AEH = ADC$ = $90$

$A$ chung

⇒ $ΔAEH ~ ΔADC$

⇒ $AE/AD$ = $AH/AC$

⇒ $AE.AC$ = $AH.AD$

Xét $ΔBEC$ và $ΔADC$ có :

$BEC = ADC$ = $90$

$C$ chung

⇒ $ΔBEC ~ ΔADC$

⇒ $AE/AD = BC/AC$

⇒ $AD.BC = BE.AC$ (đpcm)

4. Có : $C1 = A1$ (cùng phụ góc $ABC$)

C2 = A1 ( hai góc nối tiếp chắn cung $BM$ )

⇒ $C1 = $C2$ ⇒ $CB$ là tia phân giác $HCM$

Lại có : $CB$ ⊥ $HM$

⇒ $Δ$ $CHM$ cân tại $C$

⇒ $CB$ là đường trung trực của $HM$

⇒ $H$ và $M$ đối xứng nhau qua $BC$ (đpcm)

5. Có : Bốn điểm $B$,$C$,$E$,$F$ cùng nằm trên một đường tròn ( câu 2 )

⇒ $C1 = E1$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $BF$) (*)

Có : Tứ giác $CEHD$ nội tiếp (câu 1)

⇒ $C1 = E2$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HD$ ) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra :

$E1 = E2$

⇒ $EB$ là tia phân giác $DEF$

Cm tương tự ta được : $FC$ là tia phân giác của $DFE$

Mà $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$

⇒ $H$ là tâm của đường tròn nội tiếp $ΔDEF$

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. Xét tứ giác CEHD có :

CEH = 90 ( BE là đường cao )

CDH = 90 ( AD là đường cao )

⇒ CEH + CDH = 90 + 90 = 180

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD

⇒ CEHD là tứ giác nội tiếp (đpcm)

2. BE là đường cao ( gt )

⇒ BE ⊥ AB ⇒ BFC = 90

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90 ⇒ E và F cùng nằm trên (O) đường kính AB

⇒ 4 điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)

3. Xét ΔAEH và ΔADC có :

AEH = ADC (=90)

A chung

⇒ ΔAEH ~ ΔADC

⇒ AE/AD = AH/AC

⇒ AE.AC = AH.AD

Xét ΔBEC và ΔADC có :

BEC = ADC (=90)

C chung

⇒ ΔBEC ~ ΔADC

⇒ AE/AD = BC/AC

⇒ AD.BC = BE.AC (đpcm)

4. Có : C1 = A1 (cùng phụ góc ABC)

C2 = A1 ( hai góc nối tiếp chắn cung BM )

⇒ C1 = C2 ⇒ CB là tia phân giác HCM

Lại có : CB ⊥ HM

⇒ Δ CHM cân tại C

⇒ CB là đường trung trực của HM

⇒ H và M đối xứng nhau qua BC (đpcm)

5. Có : Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn ( câu 2 )

⇒ C1 = E1 (hai góc nội tiếp cùng chắn BF) (*)

Có : Tứ giác CEHD nội tiếp (câu 1)

⇒ C1 = E2 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD ) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra :

E1 = E2

⇒ EB là tia phân giác DEF

Cm tương tự ta được : FC là tia phân giác của DFE

Mà BE và CF cắt nhau tại H

⇒ H là tâm của đường tròn nội tiếp ΔDEF