a.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=-x^3+3x^2 b.Dựa vào đồ thị,biện luận theo m số nghiệm phương trình -x^3+3x^2=2m+1 Hứa tym and 5 sao

$y = -x^3 + 3x^2$

$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R$

$+) \quad \mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}y = \mp \infty$

- Hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

$+) \quad y' = -3x^2 + 6x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\right.$

$+) \quad \text{Bảng biến thiên:}$

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & 0 & & && 2 & && +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& & + &  &  0& &- &\\
\hline
&+\infty&&&&&&4\\
y & &\searrow& && \nearrow& &&&\searrow\\
&&&0&&&&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}$

- Hàm số đồng biến trên $(0;2)$

- Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$

- Hàm số đạt cực đại tại $x = 2; \, y_{CĐ} = 4$

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0;\, y_{CT} = 0$

$+) \quad y'' = -6x + 6$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1$

- Đồ thị hàm số có điểm uốn $U(1;2)$

$+) \quad \text{Đồ thị:}$

Ta có bảng giá trị:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -1&0&1&2&3\\
\hline
y&4&0&2&4&0\\
\hline
\end{array}$

- Đồ thị cắt $Ox$ tại $(0;0),(3;0)$

- Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;0)$

$+) \quad \text{Kết luận:}$

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn $U(1;2)$ làm tâm đối xứng

b) $-x^3 + 3x^2 =2m + 1 \qquad (*)$

$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $(C)$ đã cho và đường thẳng $(d): y = 2m + 1$

Số nghiệm của $(*)$ là số giao điểm giữa $(C)$ và $(d)$

Dựa vào đồ thị hàm số vừa tìm, ta có:

+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $1$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2m + 1 > 4\\2m + 1 < 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > \dfrac32\\m < -\dfrac12\end{array}\right.$

+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $2$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có $2$ nghiệm

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2m + 1 = 4\\2m + 1 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = \dfrac32\\m = -\dfrac12\end{array}\right.$

+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có $3$ nghiệm

$\Leftrightarrow 0 < 2m + 1 < 4$

$\Leftrightarrow -\dfrac12 < m < \dfrac32$