`A = (2sqrtx + 3)/(5x - 10sqrtx) ; B = (2sqrtx + 3)/((2sqrtx +1)(sqrtx - 2))` Tìm đkxđ của `A ; B` Tìm `x` để `P = B/A ∈ Z`

Đáp án:

$a. x > 0 , x \ne 4$

$b. x = \frac{1}{9}$

Giải thích các bước giải:

$a.$ ĐKXĐ của $A : x ≥ 0 , 5x - 10\sqrt[]{x} \ne 0$

⇔ $5\sqrt[]{x}( \sqrt[]{x} - 2 ) \ne 0 , x ≥ 0$

⇔ $x > 0 , x \ne 4$

ĐKXĐ của $B : x ≥ 0 , ( 2\sqrt[]{x} + 1 )( \sqrt[]{x} - 2 ) \ne 0$

⇔ $x ≥ 0 , \sqrt[]{x} - 2 \ne 0$

⇔ $x ≥ 0 , x \ne 4$

Kết hợp 2 ĐKXĐ ⇒ $x > 0 , x \ne 4$

$b. P = \frac{B}{A}$

⇔ $P = \frac{2\sqrt[]{x}+3}{(2\sqrt[]{x}+1)(\sqrt[]{x}-2)} : \frac{2\sqrt[]{x}+3}{5x-10\sqrt[]{x}}$

⇔ $P = \frac{2\sqrt[]{x}+3}{(2\sqrt[]{x}+1)(\sqrt[]{x}-2)} . \frac{5\sqrt[]{x}(\sqrt[]{x}-2)}{2\sqrt[]{x}+3}$

⇔ $P = \frac{5\sqrt[]{x}}{2\sqrt[]{x}+1}$

⇔ $P = \frac{\frac{5}{2}(2\sqrt[]{x}+1)-\frac{5}{2}}{2\sqrt[]{x}+1}$

⇔ $P = \frac{5}{2} - \frac{5}{2(2\sqrt[]{x}+1)}$

⇔ $P = \frac{5}{2} - \frac{5}{4\sqrt[]{x}+2}$

Vì $\frac{5}{4\sqrt[]{x}+2} > 0$ với $∀ x > 0$

⇒ $\frac{5}{2} - \frac{5}{4\sqrt[]{x}+2} < \frac{5}{2}$

⇔ $P < \frac{5}{2}$

Ta có : $P = \frac{5\sqrt[]{x}}{2\sqrt[]{x}+1} > 0$ với $∀ x > 0$

⇒ $0 < P < \frac{5}{2}$

Mà $P ∈ Z ⇒ P =$ {$1 ; 2$}
+) $P = 1 ⇔ \frac{5\sqrt[]{x}}{2\sqrt[]{x}+1} = 1$

⇔ $5\sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{x} + 1$

⇔ $3\sqrt[]{x} = 1$

⇔ $\sqrt[]{x} = \frac{1}{3}$

⇔ $x = \frac{1}{9}$ ( TM )
+) $P = 2 ⇔ \frac{5\sqrt[]{x}}{2\sqrt[]{x}+1} = 2$

⇔ $5\sqrt[]{x} = 4\sqrt[]{x} + 2$

⇔ $\sqrt[]{x} = 2$

⇔ $x = 4$ ( loại )

Kết hợp 2TH ⇒ $x = \frac{1}{9}$