60 điểm vote 5 sao !!!!!!!!! cứuuuuuuuuu a^2+b^2+c^2=1 CMR a^3/a+b + b^3/b+c + c^3/c+a >= 1/2

Bổ sung đề bài: `a; b; c > 0`

Ta có:

`a^3/(a + b) + b^3/(b + c) + c^3/(c + a)`

`= a^4/[a(a + b)] + b^4/[b(b + c)] + c^4/[c(c + a)]`

Áp dụng BĐT $\text{Svacxơ (BĐT cộng mẫu)}$, ta có:

`a^4/[a(a + b)] + b^4/[b(b + c)] + c^4/[c(c + a)] ≥` $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a(a + b) + b(b + c) + c(c + a)}$  `=` $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac}$

Ta luôn có BĐT `ab + bc + ac ≤ a^2 + b^2 + c^2 ∀ a; b; c`

`⇒ a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac ≤ 2(a^2 + b^2 + c^2)`

`⇔` $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a(a + b) + b(b + c) + c(c + a)}$  `=` $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac}$ `≥` $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{2(a^2 + b^2 + c^2)}$ `= 1^2/(2.1) = 1/2`

Dấu $``$$="$ xảy ra khi: `a = b = c =` $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$