1.Tìm m để hàm số y=mx^3+(2m+1)x^2+2x+1 có cực đại và cực tiểu 2.Tìm m để hàm số y=x^3-(2m+1)x^2+(m^2-1)x đạt cực đại tại x=0

Đáp án:

1) $m \ne 0$

2) $m = 1$

Giải thích các bước giải:

1) $y = mx^3 + (2m +1)x^2 + 2x +1$

+) $m =  0\to y = x^2 + 2x +1$

$y$ là một parabol chỉ có 1 cực trị

+) $m \ne 0$

$y' = 3mx^2 + 2(2m +1)x + 2$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow (2m +1)^2 - 6m > 0$

$\Leftrightarrow 4m^2 - 2m + 1 >0$

$\Leftrightarrow \left(2m -\dfrac12\right)^2 +\dfrac34 > 0$ (luôn đúng)

Vậy hàm số luôn có cực trị khi $m \ne 0$

2) $y =f(x)= x^3 - (2m +1)x^2 + (m^2 -1)x$

$y' =f'(x)= 3x^2 - 2(2m +1)x + m^2 -1$

$y'' =f''(x)= 6x - 2(2m +1)$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases}f'(0)=0\\f'(0) < 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 -1 =0 \\- 2(2m +1) < 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m = 1\\m = -1\end{array}\right.\\m >-\dfrac12\end{cases}$

$\Leftrightarrow m = 1$