10) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R (R > 0). Từ điểm B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O). Trên tia Bx lấy điểm C (C khác B), AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác A) . Từ điểm O kẻ OH vuông góc với dây AD (H thuộc AD). a) Chứng minh AH = HD. b) Chứng minh BD AD và AC.AD không đổi khi C di chuyển trên tia Bx. c) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Gọi K là giao điểm của OM và BD. Xác định vị trí của điểm C trên tia Bx để tứ giác OHBK là hình vuông.

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$OH\bot AD=H$ mà $AD$ là dây cung của $(O)$

$\to H$ là trung điểm của $AD$ (Tính chất đường kính vuông góc với dây cung)

$\to AH=HD$

b) Ta có:

$\widehat{ADB}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{CBA}=90^0$ (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)

Khi đó:

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ và có $BD\bot AC=D$

$\to AC.AD=AB^2$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to AC.AD=4R^2$ không đổi

Bạn xem lại yêu cầu chứng minh: $\textbf{BD.AD}$ không đổi.

c) Ta có:

$DM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của $\Delta BDC$

$\to DM=BM=CM$

Khi đó:

Hai tam giác $MDO$ và $MBO$ có: $MO$ chung; $MD=MB$; $OD=OB=R$

$\to \Delta MDO=\Delta MBO(c.c.c)$

$\to \widehat{MDO}=\widehat{MBO}=90^0$

$\to MD\bot OD=D$

$\to MD$ là tiếp tuyến của $(O)$

d) Sửa lại đề bài: ... để tứ giác $OHDK$ là hình vuông (vì tứ giác $OHBK$ không thể trở thành hình vuông dù $C$ có ở vị trí nào)

Ta có:

$MD,MB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ với hai tiếp điểm $D,B$ và cắt nhau tại $M$ 

$\to MD=MB$

$\to OM$ là trung trực của $BD$

$\to OM\bot BD$ tại trung điểm $K$ của $BD$

$\to \widehat{DHO}=\widehat{DKO}=\widehat{HDK}=90^0$

$\to$ Tứ giác $OHDK$ là hình chữ nhật.

Để $OHDK$ là hình vuông thì $DH=DK$ hay $2DH=2DK$

Như vậy $DA=DB\to \Delta ADB$ vuông cân ở $D$

$\to \Delta ABC$ vuông cân ở $B$

$\to BC=BA$

$\to BC=2R$

Vậy $C$ ở trên tia $Bx$ sao cho $BC=2R$ thỏa mãn đề.