1) Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. 2) Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước.

Đáp án:

1)

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y (0<x≤R,0<y<2R).(0<x≤R,0<y<2R). Gọi SS’ là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón ta có

x2=y(2R–y).x2=y(2R–y).

Gọi V₁ là thể tích khối nón thì

V1=13πx2y=13πy.y(2R–y)=π6(4R–2y).y.y≤π6(4R–2y+y+y3)3=32πR381.V1=13πx2y=13πy.y(2R–y)=π6(4R–2y).y.y≤π6(4R–2y+y+y3)3=32πR381.

Vậy thể tích V1V1 đạt giá trị lớn nhất bằng 32πR38132πR381 khi và chỉ khi 4R-2y=y

⇔y=4R3,⇔y=4R3, từ đó x2=4R3(2R–4R3)=8R29x2=4R3(2R–4R3)=8R29 hay x=2R√23.x=2R23.

2)

Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB (H.79b)

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y (x > 0, y > 2r) thì

(AH+SA)r=12AB.SH(AH+SA)r=12AB.SH

⇔(x+√x2+y2)r=xy⇔x2=r2yy–2r,⇔(x+x2+y2)r=xy⇔x2=r2yy–2r,

Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là

V2=13πx2y=13πr2.y2y–2r.V2=13πx2y=13πr2.y2y–2r.

Ta có

 y2y–2r=y2–4r2+4r2y–2r=y+2r+4r2y–2r=y–2r+4r2y–2r+4r≥2√(y–2r).4r2y–2r+4r=8r.y2y–2r=y2–4r2+4r2y–2r=y+2r+4r2y–2r=y–2r+4r2y–2r+4r≥2(y–2r).4r2y–2r+4r=8r.

Từ đó V2≥13π.8r3,V2≥13π.8r3, tức là V2V2 đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi

y–2r=4r2y–2r⇔y=4r,y–2r=4r2y–2r⇔y=4r,

Từ đó x=r√2.x=r2.