1. Cho Δ ABC có 3 góc nhọn . BE, CF là đường cao, M là trung điểm BC. Cm: các đường thẳng ME, MF tiếp xúc với đường tròn đi qua 3 điểm A,E,F. 2. Tứ giác ABCD nội tiếp (O). Giả sử các tiếp tuyến của (O) tại A,B,C,D cắt nhau tại M,N,P,Q. a) Cm: tổng độ dài 2 cạnh của tứ giác MNPQ bằng nhau. b) Gọi I = AB ∩ OM, K = BC ∩ ON, H = CD ∩ PO, L = AD ∩ QO. Cm: IKHL là hbh. Bài dài nên các bn chịu khó giúp mk vs ạ. Cảm on trước.
1 câu trả lời
Bài 1:
Gọi $H$ là giao điểm $BE$ và $CF$
$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Rightarrow AH\bot BC$
Có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90{}^\circ $
Nên 4 điểm $A,E,H,F$ cùng thuộc 1 đường tròn đường kính $AH$
Gọi $I$ là trung điểm $AH$
$\Rightarrow I$ là tâm của đường tròn đi qua 3 điểm $A,E,F$
Có: $IE=IA\Rightarrow \Delta IEA$ cân tại $I$$\Rightarrow \widehat{IEA}=\widehat{IAE}$
Có: $ME=MC\Rightarrow \Delta MEC$ cân tại $M\Rightarrow \widehat{MEC}=\widehat{MCE}$
$\Rightarrow \widehat{IEA}+\widehat{MEC}=\widehat{IAE}+\widehat{MCE}$
$\Rightarrow \widehat{IEA}+\widehat{MEC}=90{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{MEI}=90{}^\circ $
$\Rightarrow ME\bot IE$
$\Rightarrow ME$ là tiếp tuyến của $\left( I \right)$
Tương tự, $MF$ là tiếp tuyến của $\left( I \right)$
Vậy $ME,MF$ tiếp xúc với $\left( I \right)$
Bài 2:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
$\begin{cases}MA=MB\\QA=QD\\NC=NB\\PC=PD\end{cases}$
$\Rightarrow \left( MA+QA \right)+\left( NC+PC \right)=\left( MB+NB \right)+\left( QD+PD \right)$
$\Rightarrow MQ+NP=MN+QP$
Vậy tổng độ dài 2 cặp cạnh đối bằng nhau
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
$I$ là trung điểm $AB$
$K$ là trung điểm $BC$
$H$ là trung điểm $CD$
$L$ là trung điểm $DA$
$IL$ là đường trung bình $\Delta ABD$
$\Rightarrow IL//BD$ và $IL=\dfrac{1}{2}BD$
$KH$ là đường trung bình $\Delta CBD$
$\Rightarrow KH//BD$ và $KH=\dfrac{1}{2}BD$
$\Rightarrow IL//KH$ và $IL=KH$
$\Rightarrow IKHL$ là hình bình hành