Đăng nhập Đăng ký

Câu hỏi:

2 năm trước

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phươn trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho $T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\left( P \right):\,\,6x - 3y + 2z - 6 = 0$

$\left( P \right):\,\,6x + 3y + 2z - 18 = 0$

$\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 14 = 0$

$\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 10 = 0$

Xem đáp án

Đề kiểm tra 1 tiết chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 2 - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)$ , khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

$\begin{array}{l}1 = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}} \right)^2} \le \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{1}{{14}} \Rightarrow {T_{\min }} = \frac{1}{{14}}\end{array}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{{3c}}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{a}{2}\\c = \frac{a}{3}\\\frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0$

Hướng dẫn giải:

+) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ở dạng đoạn chắn.

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki.

+) Tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra.

Câu hỏi khác

Câu 1:

Cho $\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$ là cặp VTCP của mặt phẳng $\left( P \right)$ . Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ ?

$\left( {1;2;0} \right)$

$\left( {2;11; - 7} \right)$

$\left( {4; - 22; - 14} \right)$

$\left( {2;2; - 4} \right)$

Xem đáp án

84

84 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;1 - 2} \right)$ ; $\overrightarrow b = \left( {2;1; - 1} \right)$ . Tính $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{6}$

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{{36}}$

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{6}$

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{{36}}$

Xem đáp án

83

83 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 3:

Cho hai véc tơ $\overrightarrow u = \left( {m;2;1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {0;n;p} \right)$ . Biết $\overrightarrow u = \overrightarrow v$ , giá trị $T = m - n + p$ bằng:

$3$

$2$

$1$

$- 1$

Xem đáp án

88

88 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j$ . Tọa độ của điểm $M$ là

$M\left( {0;2;1} \right)$

$M\left( {1;2;0} \right)$

$M\left( {2;0;1} \right)$

$M\left( {2;1;0} \right)$

Xem đáp án

203

203 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;0} \right)$ và $B\left( {0;1;2} \right)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB}$

$\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;0} \right)$

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)$

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right)$

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right)$

Xem đáp án

83

83 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20$ .

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 5\sqrt 2$

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5$

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5$

Xem đáp án

88

88 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 3;2;1} \right)$ và $B\left( {5; - 4;1} \right)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.

$\left( P \right):\,\,4x - 3y - 7 = 0$

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 7 = 0$

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z - 16 = 0$

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z + 16 = 0$

Xem đáp án

80

80 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước