Tổng các nghiệm của phương trình \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8\) là

Ta có \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8\)$ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right).\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 8 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8$

Đặt ${x^2} + 3x + 1 = t$ , thu được phương trình $\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow {t^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 3\end{array} \right.$

+) Với $t = 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 3 $

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0$ , có $\Delta  = 17 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};$

${x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$

+) Với $t =  - 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 =  - 3$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 4 = 0$ có $\Delta  =  - 7 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$

Suy ra tổng các nghiệm là $\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} + \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} =  - 3$