Một lò xo nhẹ có khối lượng không đáng kể được cắt thành 3 lò xo có chiều dài theo tỉ lệ \(2\):\(2\):\(1\). Vật có khối lượng m được treo vào lò xo thứ nhất thì dãn \(10 cm\). Lấy \(\pi^2 =10\). Nếu treo vật vào lò xo thứ 3 thì chu kì dao động điều hòa của hệ là 

+Khi cắt lò xo thành 3 phần, ta có:

\(k\ell  = {k_1}{\ell _1} = {k_3}{\ell _3} \\\to \dfrac{{{k_1}2\ell }}{5} = \dfrac{{{k_3}\ell }}{5} \\\to {k_3} = 2{k_1}.\)

+ Khi treo vật vào lò xo thứ nhất, tại vị trí cân bằng ta có: \(mg = {k_1}\Delta {l_1}\)

\( \Rightarrow \dfrac{m}{{{k_1}}} = \dfrac{{\Delta {l_1}}}{g} = \dfrac{{0,1}}{{10}} = 0,01\)

Chu kì dao động khi đó: \({T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_1}}}}  = 2\pi \sqrt {0,01}  = \dfrac{\pi }{5}s = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}s\)

+ Khi treo vật vào lò xo thứ ba, ta có chu kì dao động của vật \({T_3} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_3}}}} \)

Ta có:  \(\dfrac{{{T_1}}}{{{T_3}}} = \dfrac{{2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_1}}}} }}{{2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_3}}}} }} = \sqrt {\dfrac{{{k_3}}}{{{k_1}}}} \)

Lại có \(\dfrac{{{k_1}}}{{{k_3}}} = \dfrac{1}{2}\)

Suy ra: \(\dfrac{{{T_1}}}{{{T_3}}} = \sqrt 2  \Rightarrow {T_3} = \dfrac{{{T_1}}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}s\)