Đề thi THPT QG - 2020

Một sợi dây dài 96 cm căng ngang, có hai đầu A và B cố định. M và N là hai điểm trên dây với MA = 51 cm và NA = 69 cm. Trên dây có sóng dừng với số bụng nằm trong khoảng từ 5 bụng đến 19 bụng. Biết phần tử dây tại M và N dao động cùng pha và cùng biên độ. Gọi d là khoảng cách từ M đến điểm bụng gần nó nhất. Giá trị của d  gần nhất với giá trị nào sau đây?

Xét bài toán: Điều kiện để M và N dao động cùng pha và cùng biên độ

M cùng pha và cùng biên độ với các điểm \({N_1},{N_2},...\)

Xét các điểm \({N_1},{N_3},{N_5}\): \(\left\{ \begin{array}{l}A{N_1} + AM = 1\frac{\lambda }{2}\\A{N_3} + AM = 3\frac{\lambda }{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tổng quát: \(AN + AM = {k_1}\frac{\lambda }{2}\)  (với \({k_1} = 1,3,5,....\) )

Xét các điểm \({N_2},{N_4},{N_6}\): \(\left\{ \begin{array}{l}A{N_2} - AM = 2\frac{\lambda }{2}\\A{N_4} - AM = 4\frac{\lambda }{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tổng quát: \(AN - AM = {k_2}\frac{\lambda }{2}\) (với \({k_2} = 2,4,6,....\) )

Quay về bài:

+ Gọi số bó sóng trên dây: \(k\) \(\left( {5 \le k \le 19} \right)\), ta có: \(l = k\frac{\lambda }{2}\) \( \Rightarrow \frac{\lambda }{2} = \frac{l}{k} = \frac{{96}}{k}\) với \(\left( {5 \le k \le 19} \right)\)

+ Điều kiện để M và N cùng pha và cùng biên độ là:

\(\left[ \begin{array}{l}AN + AM = {k_1}\frac{\lambda }{2} = 120cm\\AN - AM = {k_2}\frac{\lambda }{2} = 18cm\end{array} \right.\) (với \({k_1} = 1,3,5,....\) và \({k_2} = 2,4,6,....\))\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_1} = \frac{{120}}{{\frac{\lambda }{2}}} = \frac{{5k}}{4}\\{k_2} = \frac{{18}}{{\frac{\lambda }{2}}} = \frac{{3k}}{{16}}\end{array} \right.\)

Thay \(k = 5,6,...,19\) vào 2 biểu thức trên, ta được bảng:

Chỉ có \(\left\{ \begin{array}{l}k = 12\\{k_1} = 15\end{array} \right.\) thỏa mãn \(\frac{\lambda }{2} = \frac{{96}}{{12}} = 8cm\)

\(MA = 51cm = 6\frac{\lambda }{2} + 3cm\) \( \Rightarrow M\) cách nút sóng \(3cm\) \( \Rightarrow \) M cách bụng gần nhất: \(4 - 3 = 1cm\)

(Do khoảng cách giữa 1 nút à 1 bụng gần nhất là \(\frac{\lambda }{4} = 4cm\))