Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

\( \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\).

TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c\,\, \vdots \,\,3\).

Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}9\,\, \equiv \,\,0\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {2;5;8} \right\} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)

+) \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách chọn.

+) \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách chọn.

+) Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \) Có \(1.C_3^1.C_3^1.3!\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\) số.

TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\), trong đó \(5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\).

Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,0\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)

+) Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có \(C_3^1\) cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có:  \(C_3^1.3!\) cách chọn.

Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a,b,c có a=0, ta cần tìm \(\overline {bc}\):

 Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có  \(C_3^1\) cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn \(\overline {bc}\) là \(C_3^1 .2!\)

\( \Rightarrow \) Có \(C_3^1.3! - C_3^1.2! = 12\) cách chọn.

+) Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.

\( \Rightarrow \) Có \(C_2^1.3! - 2! = 10\) cách chọn.

+) Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \) Có \(C_3^2.C_2^1.3! = 36\) cách chọn.

Vậy có tất cả \(66 + 12 + 10 + 36 = 124\) số thỏa mãn.