Trên đoạn cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho AC/AD=BD/AB. Tìm quỹ tích đỉnh C

Đáp án:

C thuộc đường tròn tâm A bán kính $AD\sqrt 2 $

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} \text{Chọn }A\left( {0;0} \right),D\left( {1;0} \right),B\left( {x;y} \right) \Rightarrow C\left( {x + 1;y} \right)\\ AC.AB = AD.BD\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} .\sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 2x} \right) = 1 - 2x\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 2x} \right) - {x^2} - {y^2} - 2x = 1 - 2x\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 2x - 1} \right) = 0\left( {do\,{x^2} + {y^2} + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 2 \end{array}$

Suy ra B thuộc đường tròn tâm I(-1;0) bán kính $\sqrt 2 $

Mà ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( B \right) = C$

nên C thuộc đường tròn tâm A bán kính $AD\sqrt 2 $.