Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB; các điểm E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh CB, CA. Gọi P là giao điểm của BF và CN, Q là giao điểm của AE và CM. chứng minh rằng: PQ // AB.

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lí Mê - nê- na - uyt vào tam giác MBC có A,Q,E thẳng  hàng ta có:

\[\begin{array}{l}
\frac{{MA}}{{AB}}.\frac{{BE}}{{EC}}.\frac{{CQ}}{{QM}} = 1\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{3}.1.\frac{{CQ}}{{QM}} = Q\\
 \Rightarrow \frac{{CQ}}{{QM}} = 3 \Rightarrow CQ = \frac{3}{4}CM
\end{array}\]

Áp dụng định lí Mê- nê- na - uyt vào tam giác ANC có B,P,F thẳng hàng ta có:

\[\begin{array}{l}
\frac{{AB}}{{BN}}.\frac{{NP}}{{PC}}.\frac{{CF}}{{FA}} = 1\\
 \Leftrightarrow 3.\frac{{NP}}{{PC}}.1 = 1\\
 \Rightarrow \frac{{NP}}{{PC}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{PC}}{{CB}} = \frac{3}{4} = \frac{{CQ}}{{CN}}\\
 \Rightarrow PQ//MN \Rightarrow PQ//AB
\end{array}\]