Tính tổng S= (2018C1)^2 +2(2018C2)^2+....+2018(2018C2018)^2

Đáp án:

\(S = 2018.C_{4036}^{2017}\)

Giải thích các bước giải: Số hạng tổng quát của S có dạng

\(\begin{array}{l} k.{(C_n^k)^2} = k.C_n^k.\frac{{n!}}{{k!.(n - k)!}} = C_n^k.\frac{{n.(n - 1)!}}{{(k - 1)!(n - k)!}} = C_n^k.n.C_{n - 1}^{k - 1}\\ \Rightarrow S = 2018.(C_{2018}^1.C_{2017}^0 + C_{2018}^2.C_{2018}^1 + ... + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^{2017}) \end{array}\)

Ta có \({(1 + x)^{2018}}.{(1 + x)^{2018}} = {(1 + x)^{4036}}\)

Hệ số của \({x^{2017}}\) trong khai triển \({(1 + x)^{2018}}.{(1 + x)^{2018}}\) là

\(C_{2018}^1.C_{2017}^0 + C_{2018}^2.C_{2018}^1 + ... + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^{2017}\)

Hệ số của \({x^{2017}}\) trong khai triển \({(1 + x)^{4036}}\) là \(C_{4036}^{2017}\)

\( \Rightarrow S = 2018.C_{4036}^{2017}\)